Le séminaire de l’équipe EDPs² est sous la responsabilité de Jimmy Garnier.
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Autres années : 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, toutes ensemble.

Année 2017

Vendredi 19 mai 2017 à 14h Stéphane Menozzi (Université d'Evry),
Lp estimaes for degenerate non--local Kolmogorov operators

Résumé : (Masquer les résumés)
We prove a priori estimates in Cinfty(R) for non-local operator Lx comparable to R^d fractionnal Laplacian in terms of symbols, α ∈ (0, 2). We require that when Lx is replaced by the classical Rd -Laplacian. Such estimates were only known for α = 2. This is one of the first results on Lp estimates for degenerate non-local operators under Hormander type conditions.

Vendredi 05 mai 2017 à 15h Julien Chevallier (Université Cergy-Pontoise),
Modélisation de grands réseaux de neurones par processus de Hawkes

Résumé : (Masquer les résumés)
Nous nous intéresserons aux liens qui existent entre deux échelles de modélisation neurobiologique. À un niveau microscopique, l'activité électrique de chaque neurone est représentée par un processus ponctuel. À une plus grande échelle, un système d'EDP structuré en âge décrit la dynamique moyenne de ces activités. Nous montrerons que le modèle macroscopique (système d'EDP) peut se retrouver à partir d'un réseau de $n$ neurones en champ-moyen quand $n$ tend vers $+infty$ via une ``Loi des grands nombres''. De plus, les fluctuations du réseau de $n$ neurones autour du comportement limite/macroscopique sont caractérisées par un ``Théorème central limite''. Cette étude finale permet la dérivation d'un système d'EDP stochastique, plus proche de la dynamique microscopique que le système d'EDP classique.

Vendredi 05 mai 2017 à 14h Antoine Henrot (Université de Lorraine),
Deux fonctionnelles faisant intervenir le maximum de la fonction torsion

Résumé : (Masquer les résumés)
Il s'agit d'un travail conjoint avec Ilaria Lucardesi et Gérard Philippin Dans cet exposé, nous revisitons deux problèmes elliptiques très classiques: le problème de la torsion (ou de St Venant): -Δu = 1 dans Ω avec u=0 sur le bord et la première valeur propre λ(Ω) du Laplacien-Dirichlet. Désignant par M(Ω) le maximum de la fonction torsion u, nous cherchons des bornes, si possible optimales, pour les deux fonctionnelles F(Ω)=∫Ω u dx/(M(Ω) /|Ω|)$ et G(Ω)=M(Ω) λ(Ω).

Vendredi 14 avril 2017 à 14h Amin Rashidi (Univ Savoie Mont-Blanc, LAMA),
à venir

Vendredi 24 mars 2017 à 14h Stéphane Junca (Université de Nice Sophia-Antipolis),
Un nouveau cadre fonctionnel pour les lois de conservation

Résumé : (Masquer les résumés)
Depuis Peter Lax et Olga Oleinik (1957) l’espace BV ( functions with Bounded Variations) est le cadre mathématique le plus utilisé pour les lois de conservation. BV a l’avantage de contrôler la dérivée tout en permettant les ondes de chocs avec des traces de part et d’autre du choc. Les espaces de Sobolev n’ont pas ces avantages bien que Lions, Perthame, Tadmor, Tao aient obtenu des effets régularisant (non optimaux) pour les lois scalaires non linéaires dans ce cadre. On présentera des espaces BV généralisés comme les BV fractionnaires pour obtenir des effets régularisant optimaux, des blow-up ou des résultats d’existence pour des lois scalaires et un système hyperbolique issue de la chimie. Travaux en collaboration avec: Christian Bourdarias, Pierre Castelli, Pierre-Emmanuel Jabin, Marguerite Gisclon, Yue-Jun Peng.

Vendredi 17 mars 2017 à 14h Bernard Valette (Univ Savoie Mont-Blanc, ISTERRE),
Les Oscillations libres de la Terre : Une invitation à l'étude d'une classe de problèmes spectraux.

Vendredi 17 mars 2017 à 14h Benjamin Melinand (Indiana University),
Coriolis effect on water waves

Résumé : (Masquer les résumés)
In this talk, we study the influence of a Coriolis forcing on water waves. First, we present a local wellposedness result on the Castro-Lannes equations which generalize the so called Zakharov/Craig-Sulem formulation in the rotational framework. Then, we study different asymptotic models in shallow waters. First, we fully justify on large times the Boussinesq equations, asymptotic model in a weakly nonlinear regime, and then we fully justify the Poincaré waves and the Ostrovsky equation.

Vendredi 10 mars 2017 à 14h Rémi Carles (Univ Montpellier -- IMAG),
Dynamique universelle pour l'équation de Schrödinger logarithmique

Résumé : (Masquer les résumés)
Nous considérons l'équation de Schrödinger avec une non-linéarité logarithmique, dont le signe est tel qu'il n'existe pas de solution stationnaire (non triviale). Des calculs explicites dans le cas de données gaussiennes font apparaître trois phénomènes nouveaux, dans le régime en temps grand : la dispersion est accrue d'un facteur logarithmique en temps, les normes de Sobolev (d'indice positif) croissent logarithmiquement en temps, et après une remise à l'échelle de la fonction inconnue, le module de la solution converge vers une gaussienne universelle (indépendante de la gaussienne initiale). Ces phénomènes persistent pour des données initiales générales (non nécessairement gaussiennes), quitte à considérer une limite faible pour le troisième point. Parmi les étapes de la preuve, nous présenterons une transformée de Madelung permettant de réduire l'équation à une variante de l'équation d'Euler compressible isotherme, dont le comportement en temps long fait intervenir une équation parabolique liée à un opérateur de Fokker-Planck. Il s'agit d'un travail en commun avec Isabelle Gallagher.

Vendredi 03 mars 2017 à 14h Franck Sueur (Institut Mathématique de Bordeaux -- Univ Bordeaux),
Contrôlabilité des équations de Navier-Stokes dans le cas d'une condition de glissement avec friction

Résumé : (Masquer les résumés)
Dans ce travail en collaboration avec Jean-Michel Coron et Frédéric Marbach, nous considérons les équations de Navier-Stokes incompressible dans un domaine borné régulier dans le cas où une condition de glissement avec friction est prescrite sur le bord privé d’une partie non-vide. Cette sous-détermination exprime que l’on contrôle la partie restante du bord. Nous prouvons que pour toute donnée initiale d’énergie cinétique finie, pour tout temps positif, il existe une solution faible à la Leray qui s’annule au temps donné.

Vendredi 17 février 2017 à 14h Mehmet Ersoy (Univ. Toulon, IMATH),
Adaptive mesh refinement method : Automatic thresholding

Résumé : (Masquer les résumés)
The accurate numerical simulation of large scale flows, together with the detailed modeling of flooding or drying of small-scale regions, is a difficult and a challenging problem. Adaptive mesh method allows, in principle, to solve accurately those scales. However in practice, on one hand, the lack of a priori or efficient a posteriori error estimates, especially for multidimensional hyperbolic problems, make the analysis harder. On the other hand, once a mesh refinement criterion is chosen, the difficult problem is to determine the mesh refinement threshold parameter which is certainly the most important part of the adaptive process. The smaller this parameter is, the higher the number of cells refined is at the expense of the computational cost. In this talk, we present a general procedure to determine automatically a mesh refinement threshold for any given mesh refinement criterion. To this end the decreasing rearrangement (distribution) function of the mesh refinement criterion is introduced to catch relevant scales. The efficiency of the automatic thresholding method is illustrated through the one and two dimensional Saint-Venant system.

Vendredi 17 février 2017 à 14h Emilian Parau (University of East Anglia, Norwich, UK),
Numerical study of hydroelastic waves

Résumé : (Masquer les résumés)
Nonlinear waves under ice plates are considered in this presentation. The ice plates floating on water can be modelled under certain conditions by thin elastic plates. Considering the influence of gravity and flexural effects a variety of two-dimensional nonlinear waves are discovered. The steady and unsteady solutions are analysed using weakly-nonlinear models, Hamiltonian formulations and numerical computations. Extensions including stratified fluids, three-dimensional effects will be discussed.

Vendredi 03 février 2017 à 14h Thibault Bourgeron (ENS Lyon),
Adaptation d'une population sexuée à un changement d'environnement

Résumé : (Masquer les résumés)
On présentera des EDP modélisant l'adaptation d'une population sexuée à un (changement d')environnement. On propose d'étudier les états stationnaires de ces équations afin de quantifier la mal-adaptation de la population. La reproduction sexuée est modélisée par l'opérateur infinitésimal de Fisher, qui est non local, non linéaire, non monotone. Pour ces raisons l'existence d'éléments propres principaux ne peut pas être obtenue par la théorie de Krein-Rutman. Dans une seconde partie on expliquera comment, dans un certain rapport des échelles phénotypiques, la méthodologie de l'approximation WKB peut être adaptée à ces équations pour calculer des indicateurs de maladaptation. L'introduction d'une structure en âge fait apparaître des effets non linéaires (mur de mortalité).

Vendredi 03 février 2017 à 14h Julian Tugaut (Télécom Saint-Étienne - Univ Lyon 1),
Convergence en temps long d'une diffusion de McKean-Vlasov

Résumé : (Masquer les résumés)
Une diffusion de McKean-Vlasov correspond à une particule d'un système de type champ moyen dont la dimension tend vers l'infini. Il s'agit également de l'interprétation probabiliste de l'équation des milieux granulaires. Benachour, Roynette et Vallois ont prouvé la convergence en loi de ce genre de processus. Cattiaux, Guillin et Malrieu ont étendu ce résultat en ajoutant le gradient d'un potentiel convexe. Carrillo, McCann et Villani prouvent un résultat similaire dans un cas non-convexe en supposant que le centre de masse est fixe. En utilisant le dénombrement exact des mesures stationnaires et l'énergie-libre, la convergence en temps long sera prouvée sous des conditions naturelles portant uniquement sur la loi initiale.

Vendredi 20 janvier 2017 à 14h Hervé Le Meur (Univ Picardie, LAMFA),
De l'identifiabilité et de son application à quelques fausses évidences en biomaths

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A partir de l'exemple d'une recherche en biomath, nous justifierons l'utilité de l'identification pour un mathématicien appliqué, mais surtout de l'identifiabilité, moins connue. Nous essaierons de montrer que ses questions sont typiques de celles qu'un mathématicien appliqué se pose, et pas seulement en biomaths. Le domaine est à la confluence entre l'automatique, les statistiques et l'informatique fondamentale (ou l'algèbre différentielle). Nous donnerons alors le vocabulaire de base avec quelques exemples. Puis, nous relirons un article dans lequel certaines affirmations seront discutées. On verra l'apport des mathématiques pour vérifier/infirmer certaines affirmations.

Vendredi 13 janvier 2017 à 14h Ennio Fedrizzi (Max Planck Institut, Leipzig),
Regularisation by noise for transport and kinetic equations

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For some differential equations the addition of a carefully chosen, random noise term can produce a regularizing effect (e.g. solutions are more regular, or restored uniqueness). I will first consider a few easy examples (ODEs) to introduce some of these regularizing mechanisms, then detail two cases where we have regularization for a PDE: the (stochastic) linear transport equation and a (stochastic) kinetic equation with force term. I will present some classical results for these two equations, related to well--posedness and regularity of solutions, that can be obtained under weaker hypothesis in the stochastic setting. For both equations, results are obtained through the analysis of the regularity properties of characteristics: they solve a stochastic differential equation (SDE), which is degenerate for the kinetic equation. We’ll see that characteristics are more regular than one could expect: this can be shown using the regularizing effects of an associated parabolic or elliptic (degenerate, for the kinetic equation) PDE. If time allows, I will conclude by discussing some ongoing work on regularization by noise (in particular, selection by noise) for a nonlinear PDE, the Burgers equation: These results are from joint works with Franco Flandoli, Benjamin Gess, Enrico Priola and Julien Vovelle.

Le séminaire de l’équipe EDPs² est sous la responsabilité de Jimmy Garnier.
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