In 2004, it is proved that the cut locus of a general point on two dimensional ellipsoid is a a segment of a curvature line and proved Jacobi's last geometric statement on the singularities of the conjugate locus. We will show the cut loci of a general point on higher dimensional ellipsoids are closed disks of codimension one and determine the singularities of the conjugate loci. Moreover we will discuss other related topics.
Chemotaxis is the directed motion towards a chemical attractant. Many bacteria chemotax by swimming repeatedly in a randomly chosen direction and biasing their swim lengths according to whether their environment is improving in the current direction. At a macroscopic level this biased random walk has been modeled by the Keller-Segel (K-S) equations which are conservation laws that have a bacterial flux with a component proportional to the gradient of attractant concentration. The K-S equations predict that bacteria will aggregate at the maxima of the attractant concentration, but this is not always observed. For rapidly spatially-varying concentration gradients, the peak in bacterial concentration is some distance away, lying on a ring in two-dimensions. This is the ”volcano effect”. Our work, starting from a simplified biochemical description of each bacterium and then extracting population level models, shows how to bridge these two regimes (K-S and volcanic). The results are verified against stochastic simulations of virtual bacteria. We shall also discuss applications to the more complex chemotactic process where the bacteria are themselves producing the chemoattractant.
Je présenterai un modèle localisé de la logique linéaire multiplicative basé sur des graphes à partir duquel il est possible d'obtenir une catégorie *-autonome ainsi que de définir une notion de vérité. Je montrerai également qu'une restriction de ce modèle à une certaine classe de graphes se plonge dans la géométrie de l'interaction hyperfinie de Girard. Ceci permet d'appréhender de manière purement combinatoire le cadre utilisant des éléments d'analyse fonctionnelle avancés introduit par Girard. J'expliquerai enfin comment adapter ce modèle pour l'étendre à la logique linéaire multiplicative-additive, et discuterai d'une extension aux exponentielles.
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Dans cette présentation, on s'intéressera aux propriétés qualitatives des solutions régulières de l'équation des ondes semilineaire H^1-critique. Il est connu, notamment depuis les résultats obtenus par C. Kenig et F. Merle [Acta Mathematica, 2008], que la famille des minimiseurs de l'injection de H^1 dans L^{2^*} joue un role particulier dans la caractérisation des données initiales dont les solutions fortes associées explosent en temps fini. Je présenterai un résultat obtenu en collaboration avec P. Raphael sur le comportement des solutions de l'équation des ondes H^1-critique au voisinage de ces minimiseurs en dimension 4.
J'expliquerai de façon élémentaire comment on peut établir des liens entre plusieurs points de vue (les points de vue différentiel, algébro-géométrique, métrique) sur l'étude des singularités, dans le contexte souple de la géométrie des ensembles définissables. Nous définirons d'abord ces notions et nous dirons ensuite en quoi et comment elles se correspondent.
Cet exposé est consacré à une théorie de l'homotopie des infini-catégories strictes. Cette théorie est présentée par une structure de modèles de Quillen, construite à partir d'un ensemble de cofibrations génératrices et d'une classe d'équivalences faibles. Je commencerai par des généralites sur l'algèbre homotopique pour ensuite préciser la construction de la structure de modèles en question. Finalement j'esquisserai une construction de cohomologie non-abelienne où les inifini-categories strictes servent de coefficients.
Dans un espace métrique compact (X,d), l’ensemble A(x) des antipodes du point x est l’ensemble des maxima globaux de la fonction qui à un point y associe d(x,y). Si (X,d) est le plan projectif réel à courbure constante, alors pour tout x, A(x) est une courbe fermée. L’objet de cet exposé sera de montrer la réciproque : si sur une surface riemannienne lisse chaque point (diamétral) a un ensemble d’antipodes sans extrémités (par exemple une courbe fermée), alors il s’agit du plan projectif réel à courbure constante.
After a brief introduction of the concepts of Distributional Jacobians, we will define a Mumford-Shah energy for vector valued maps that generalizes the classical one. We will then introduce a family of approximating energy and prove a Gamma-convergence result, in the spirit of the previous works by Ambrosio and Tortorelli.
Cet exposé est consacré à la modélisation mathématique de quelques problèmes environnementaux, couvre des thématiques allant des vagues jusqu'aux avalanches de neige poudreuse et traite de différents aspects de la modélisation des tsunamis. Nous étudions toute la gamme des processus physiques de la génération, transformations d'énergie, propagation jusqu'à l'inondation des côtes. Nous verrons aussi différents aspects de la simulation numérique et de la modélisation d'inondation. Ces questions sont traitées par différentes approches: les équations de Saint-Venant, les équations de type de Boussinesq et le système de Navier-Stokes bi-fluide. Nous nous intéressons aussi à deux problèmes relevant principalement des écoulements multi-fluides, en particulier la justification formelle du modèle bifluide à quatre équations proposé avant pour la modélisation des écoulements aérés. Quelques résultats numériques présentés peuvent s'appliquer, par exemple, à la simulation numérique du déferlement. Nous proposons aussi un nouveau modèle pour les avalanches de neige poudreuse. Ce système est dérivé du Navier-Stokes bifluide classique et possède de bonnes propriétés qualitatives. Les simulations numériques d'interaction d'une avalanche avec obstacle sont présentées.
Les fonctions définissables des structures o-minimales polynomialement bornées satisfont une forme particulière de théorème de préparation. Nous montrons comment, si ces structures sont engendrées par des algèbres quasi-analytiques, rendre explicite ce résultat et en déduire une propriété d'élimination à la Tarski-Seidenberg.
A smooth complex plane quartic f(x,y,z) = 0 is classically known to have 28 bitangents, 36 linear symmetric determinantal representations and 63 representations as a sum of three squares of quadratic forms. We first review some of the beautiful relations that exists between these objects, and then explain the count in the case of quartics defined over the reals.
Les courbes frontières définissent les régions ou les formes du plan de manière compacte et descriptive. Il est bien connu que les formes doivent être étudiées à différentes échelles. Ceci a conduit au développement des pyramides régulières et irrégulières pour l'analyse des formes et la compréhension des scènes. Cependant, il n'existe pas une description analytique de la multi-résolution d'une forme numérique, contrairement au célèbre espace-échelle (scale-space) dans le monde continu. En outre, les primitives géométriques telles que les lignes, les cercles ou les polynômes ont une grande importance dans le contexte de la géométrie numérique. Les morceaux des droites numériques sont un bon moyen pour estimer les tangentes et les arcs discrets approchent la courbure. Il est donc nécessaire de les garder dans l'analyse multi-échelle des frontières numériques. Un des objectifs de cette thèse est de donner des nouveaux résultats analytiques sur la multi-résolution des droites 4-connexes et des segments de droites 4-connexes. Figueiredo est le premier qui a étudié le comportement des droites 8-connexes lors du changement de la résolution de la grille. Dans le présent travail, nous considérons une droite 4-connexe pour laquelle une description analytique est fournie lorsque la résolution de la grille est modifiée par un facteur arbitraire. En plus, nous montrons que leurs couvertures sont des droites 4-connexes. Comme les formules analytiques des segments de droite sont un problème beaucoup plus difficile, nous proposons un parcours indirect pour la multi-résolution d'un DSS en utilisant le fait qu'un segment est un morceau fini d'une droite discrète. Etant donné un DSS, nous construisons deux droites dont l'intersection le contient et dont la partie connexe principale a les mêmes caractéristiques arithmétiques, ainsi que le même nombre de motifs. Notons que nous proposons de nouveaux résultats combinatoires des intersections de droites. Nous déterminons la multi-résolution du segment en examinant la multi-résolution de l'intersection de ces deux droites. Nous donnons une nouvelle description analytique de cet ensemble avec les inégalités arithmétiques. Nous abordons également le problème du calcul des caractéristiques exactes d'un sous-segment d'une droite 4-connexe qui a des caractéristiques connues. Nous présentons deux nouveaux algorithmes SmartDSS et ReversedSmartDSS qui résolvent ce problème. Leur principe est de se déplacer dans l'arbre de Stern-Brocot de la fraction soit de manière haut-bas ou bas-haut. Dans le pire cas, leur complexité est meilleure que l'algorithme de reconnaissance DSS classique. Les deux algorithms peuvent dès lors servir à calculer efficacement la multi-résolution d'un segment. Les bruits tout au long des contours numériques ne sont pas vraiment détectés, mais plutôt annulés par l'épaississement des segments de droites 4-connexes. De plus, l'épaisseur est réglée par un utilisateur et aussi définie globalement pour le contour. Pour surmonter ce problème, nous proposons une stratégie originale pour détecter localement à la fois la quantité de bruit et les épaisseurs significatives de chaque point de contour. Ce travail se base sur les propriétés asymptotiques de segments flous d'épaisseurs différentes, et forme une alternative à l'approche multi-résolution de la détection du bruit.
La classe des mots C∞, ou facteurs lisses, est la classe des mots finis qui sont arbitrairement dérivables. Ils ont été défini par Dekking pour décrire l'ensemble des facteurs du fameux mot de Kolakoski, le mot infini point fixe du codage par plages. Nombre de conjectures sur le mot de Kolakoski et ses facteurs restent ouvertes. Nous introduisons une nouvelle représentation des mots C∞ basée sur un codage de ces mots sur un alphabet à trois lettres. Ceci permet de classifier les mots C∞ en classes d'équivalence. Ces classes d'équivalence peuvent être représentées sur un graphe infini dont nous étudions les propriétés. Nous démontrons que ce graphe peut être décrit inductivement par une fonction récursive dont la définition est totalement indépendante du contexte des mots C∞.