Team seminar
Geometry


Organiser: Georges Comte.

Zoom room: https://cnrs.zoom.us/j/97043991153?pwd=ZkhVdHc0NlQwQzdyanp4L2JqWTFydz09.

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Vincent BAGAYOKO, IMJ - Paris Cité. Dec. 5, 2024, 2 p.m. TLR geo
À venir
Abstract

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Loïs FAISANT, IST Austria. Nov. 21, 2024, 2 p.m. TLR geo
À venir
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Hussein MOURTADA, IMJ - Paris Cité. Nov. 7, 2024, 2 p.m. TLR geo
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Bram PETRI, IMJ - Sorbonne Université. Oct. 17, 2024, 2 p.m. TLR geo
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Alicia DICKENSTEIN, Buenos Aires. Oct. 10, 2024, 2 p.m. TLR geo
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Simon ANDRE, IMJ - Sorbonne Université. Oct. 3, 2024, 2 p.m. TLR geo
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Silvain RIDEAU-KIKUCHI, ENS Paris. Sept. 19, 2024, 2 p.m. TLR geo
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Jean-Yves WELSCHINGER, (Univ. Lyon). May 30, 2024, 2 p.m. TLR geo
Mesures des amibes des courbes planes complexes aléatoires
Abstract

J'estimerai la croissance asymptotique de l'espérance mathématique de l'aire des amibes des courbes planes complexes aléatoires. Cela nécessitera, étant donnée une collection de bi-disques de taille inverse à la racine carrée du degré, de minorer la probabilité que l'un de ces bi-disques soit une carte de sous-variété d'une courbe plane. Il s'agit d'un travail en collaboration avec Ali Ulaş Özgür Kişisel.

Enrico SAVI, Université de Cote d'Azur. May 16, 2024, 2 p.m. TLR geo
The Q-algebraicity problem in real algebraic geometry
Abstract

In 2020, Parusinski and Rond proved that every algebraic set $V \subset \mathbb{R}^n$ is homeomorphic to a $\bar{\mathbb{Q}}^r$-algebraic set $V' \subset \mathbb{R}^n$, where $\bar{\mathbb{Q}}^r$ denotes the field of real algebraic numbers. Latter very general result motivates the following open problem: $\mathbb{Q}$-algebraicity problem: (Parusinski, 2021) Is every algebraic set $V \subset \mathbb{R}^n$ homeomorphic to some $\mathbb{Q}$-algebraic set $V' \subset \mathbb{R}^m$, with $m \ge n$? The aim of the talk is to introduce above open problem and to explain how our new approximation techniques over $\mathbb{Q}$ allowed us to provide some classes of real algebraic sets that positively answer the $\mathbb{Q}$-algebraicity problem.

Michele ANCONA, Université Côte d'Azur. April 11, 2024, 2 p.m. TLR geo
Aspects métriques et spectraux des courbes planes aléatoires
Abstract

Toute courbe complexe plane est munie d’une métrique riemannienne induite par la métrique ambiante de Fubini- Study du plan projectif complexe. Nous donnons des bornes inférieures probabilistes sur certaines quantités métriques et spectrales (telles que la systole ou le trou spectral) des courbes planes lorsque celles-ci sont choisies aléatoirement. Il s’agit d’un travail commun avec Damien Gayet.

Jean-Philippe ROLIN, Université de Bourgogne. March 21, 2024, 2 p.m. TLR geo
Formes normales de systèmes dynamiques dans les transséries
Abstract

Nous montrons comment la théorie de la classification locale des systèmes dynamiques analytiques discrets en une variable peut s'étendre au cadre formel des transséries et de certains germes transsériels. Ces résultats s'étendent également à certains corps de "transséries généralisées" contenus dans le corps des nombres surréels, en s'appuyant sur des considérations inspirées des travaux de Rosenlicht sur les corps de Hardy. Travail joint avec V. Mantova, D. Peran et T. Servi.

Antoine DUCROS, . Feb. 15, 2024, 2 p.m. TLR geo
Fonctions tropicales sur un squelette
Abstract

Si X est une variété algébrique sur un corps non archimédien complet, son analytifié à la Berkovich $X^{an}$ contient de nombreuses parties, les squelettes, ayant une structure naturelle d’espace linéaire par morceaux. Si X est intègre, si S est un squelette de $X^{an}$ et si f est une fonction rationnelle non nulle sur X, log |f| est bien définie sur S et sa restriction à S est linéaire par morceaux. Que dire de l’ensemble E des fonctions PL sur S obtenues de cette façon ? Je présenterai dans cet exposé un résultat issu d’un travail en commun avec E. Hrushovski et F. Loeser, qui assure que E est un groupe stable sous min et max, et est de type fini modulo les constantes pour les opérations (+,-, min, max).

Erwan BRUGALLE, Université de NANTES. Feb. 8, 2024, 2 p.m. TLR geo
À venir
Abstract

À venir

Jean-Philippe MONNIER, . Feb. 1, 2024, 2 p.m. TLR geo
Autour du 17ème problème de Hilbert
Abstract

En 1927 Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en montrant qu'un polynôme positif sur $\mathbb{R}^n$ est somme de carrés de fonctions rationnelles. Ce résultat marque le début du développement de l'algèbre réelle. Dans cet exposé on s'intéresse à la réciproque du 17ème problème de Hilbert dans un cadre général. Soit $A$ un anneau intègre de corps des fractions $K$, on va décrire les lieux où la positivité des éléments de $A$ est équivalente à être une somme de carrés dans $K$. Lorsque $A$ est l'anneau de coordonnées d'une variété algébrique réelle irréductible affine $V$, ces lieux sont fortement liés aux singularités de $V$. Il s'agit d'un travail en commun avec Goulwen Fichou et Ronan Quarez.

Tobias KAISER, Passau Univ.. Jan. 11, 2024, 2 p.m. TLR geo
Analytic and Growth Properties of Log-Analytic Functions
Abstract

Logarithmic-analytic functions are iterated compositions (from either side) of globally subanalytic functions (i.e. functions definable in the o-minimal structure $\R_{an}$ of restricted analytic functions) and the global logarithm. Their definition is kind of hybrid. From the viewpoint of logic, log-analytic functions are definable in the o-minimal expansion $\R_{an,exp}$ of $\R_{an}$ by the global exponential function; in fact they generate the whole structure $\R_{an,exp}$. But from the point of analysis their definition avoids the exponential function and should therefore also not exhibit properties of the function $\exp(−1/x)$ as flatness or infinite differentiability but not real analyticity. This seems to be obvious. But the problem is that a composition of globally subanaytic functions and the logarithm allows a representation by ’nice’ terms only piecewise. Moreover, the ’pieces’ are in general not definable in $\R_{an}$ but only in $\R_{an,exp}$. And the existing preparation results for log-analytic functions involve functions which are not log-analytic. But by elaborating on the preparation theorems one can identify situations where the preparation can be carried out inside the log-analytic category. And these situations are sufficient to obtain the following results: We show that the derivative of a log-analytic function is log-analytic. We prove that log-analytic functions exhibit strong quasianalytic properties. We establish the parametric version of Tamm’s theorem for log-analytic functions. It seems also to be obvious that log-analytic functions are polynomially bounded. This is indeed true in the univariate case. But, surprisingly, multivariate log-analytic functions can exhibit exponential growth. We give examples and present structural results on the growth.

Bernard TEISSIER, CNRS. Dec. 14, 2023, 3 p.m. TLR geo
Stratifications de Whitney et formule du type Plücker
Abstract

Je vais montrer les caractères topologiques d'une variété complexe projective qui déterminent le degré de la variété duale.

Ce sont des caractéristiques d’Euler-Poincaré associées à la stratification de Whitney minimale de la variété.

Tous les termes utilisés seront expliqués.

Tamara Servi, Université Paris Cité. Nov. 16, 2023, 3 p.m. TLR geo
Développements trans-asymptotiques de germes o-minimaux
Abstract

Étant donné deux fonctions réelles $f$ et $g$, qui engendrent deux structures o-minimales, respectivement $M(f)$ et $M(g)$, on dira que $f$ est définissable à partir de $g$ si le graphe de $f$ appartient à $M(g)$. On peut considérer la non-interdéfinissabilité de deux fonctions o-minimales $f$ et $g$ comme une sorte d'indépendance fonctionnelle, qui généralise celle différentielle-algébrique. La motivation initiale de ce travail est la question suivante : soient $f$ la restriction à la demi-droite réelle ${ x: x>1}$ de la fonction $\zeta$ de Riemann et $g$ la restriction à la demi-droite réelle positive de la fonction Gamma d'Euler (deux fonctions o-minimales). Est-ce que $f$ est définissable à partir de $g$ ? Pour répondre (négativement) à cette question (et à d'autres questions dans le même esprit), nous montrons que l'on peut plonger le corps des germes de fonctions définissables dans une structure o-minimale $M$ engendrée par une classe quasi-analytique généralisée, dans un corps de séries logarithmico-exponentielles, et que l'image $F$ d'un germe $f$ par ce plongement est un développement trans-asymptotique de $f$ dans une échelle asymptotique appropriée. En étudiant les propriétés de tels objets formels $F$ (support, coefficients, convergence...) on peut déduire que certains germes réels ne sont pas définissables dans la structure $M$. (travail en cours avec J.-P. Rolin et P. Speissegger).

Krzysztof KURDYKA, . Nov. 9, 2023, 3:15 p.m. TLR geo
KL-inequality for definable maps
Abstract

We state and prove a version of Kurdyka-Lojasiewicz inequality for a mapping definable in an o-minimal structure, with values in $\R^k$, $k>1$. It implies a uniform bound for the measure of submanifolds transversal to the fibers.

Dimitri Wyss, EPFL Lausanne. Oct. 26, 2023, 4 p.m. TLR geo
Intégration non-archimédienne sur des quotients
Abstract

Motivés par les travaux de Batyrev sur la correspondance de McKay, Denef et Loeser ont défini une mesure motivique sur les variétés algébriques $X$ avec des singularités quotient, la mesure d'orbifold. Le volume de cette mesure est lié à la cohomologie orbifold de $X$.

Dans un travail en cours avec Michael Groechenig et Paul Ziegler nous étendons cette théorie aux quotients de variétés lisses par des groupes réductifs. Il n'y a pas d'analogue de la cohomologie d'orbifold connu en général, mais pour certaines classes d'espaces de modules, notamment pour des fibrés vectoriels sur une courbe, le bon analogue semble être la cohomologie dite BPS issue de la théorie de Donaldson-Thomas.

Armin Rainer, Université de Vienne. Oct. 19, 2023, 5:15 p.m. Zoom geo
On polynomial-like properties of differentiable functions (remote seminar, on Zoom)
Abstract

In this talk, I will show that smooth functions on convex bodies in Euclidean space, whose sequence of derivatives is dominated by a suitable given weight sequence of positive real numbers, have many polynomial-like properties. Let us call them “controlled differentiable functions” for brevity. Functions in quasianalytic Denjoy--Carleman classes are examples, but sometimes the results also apply in the non-quasianalytic setting.

I will introduce an integer, depending on the given weight sequence, the diameter of the domain, and the sup-norm of the function, which, in analogy to the polynomial degree, allows to express the polynomial-like behavior quantitatively. For instance, I will present a bound on the codimension one Hausdorff measure of the zero set and show that it can be locally parameterized by Sobolev functions. Moreover, I will discuss a Remez-type inequality and several applications for controlled differentiable functions. Many of the results depend only on the derivatives up to some finite order, which can be determined explicitly.

The local parameterization of the zero set by $W^{1,p}$ Sobolev functions is based on joint work with Adam Parusinski in which, for any smooth family of monic polynomials, we determined the optimal order of summability $p \ge 1$ (solely in terms of the degree) such that there is a $W^{1,p}$ choice of the roots.