Motivés par les travaux de Batyrev sur la correspondance de McKay, Denef et Loeser ont défini une mesure motivique sur les variétés algébriques $X$ avec des singularités quotient, la mesure d'orbifold. Le volume de cette mesure est lié à la cohomologie orbifold de $X$.
Dans un travail en cours avec Michael Groechenig et Paul Ziegler nous étendons cette théorie aux quotients de variétés lisses par des groupes réductifs. Il n'y a pas d'analogue de la cohomologie d'orbifold connu en général, mais pour certaines classes d'espaces de modules, notamment pour des fibrés vectoriels sur une courbe, le bon analogue semble être la cohomologie dite BPS issue de la théorie de Donaldson-Thomas.
In this talk, I will show that smooth functions on convex bodies in Euclidean space, whose sequence of derivatives is dominated by a suitable given weight sequence of positive real numbers, have many polynomial-like properties. Let us call them “controlled differentiable functions” for brevity. Functions in quasianalytic Denjoy--Carleman classes are examples, but sometimes the results also apply in the non-quasianalytic setting.
I will introduce an integer, depending on the given weight sequence, the diameter of the domain, and the sup-norm of the function, which, in analogy to the polynomial degree, allows to express the polynomial-like behavior quantitatively. For instance, I will present a bound on the codimension one Hausdorff measure of the zero set and show that it can be locally parameterized by Sobolev functions. Moreover, I will discuss a Remez-type inequality and several applications for controlled differentiable functions. Many of the results depend only on the derivatives up to some finite order, which can be determined explicitly.
The local parameterization of the zero set by $W^{1,p}$ Sobolev functions is based on joint work with Adam Parusinski in which, for any smooth family of monic polynomials, we determined the optimal order of summability $p \ge 1$ (solely in terms of the degree) such that there is a $W^{1,p}$ choice of the roots.
Je présenterai une introduction à mes articles récents avec Armin Rainer sur la perturbation des polynômes d'une ou plusieurs variables, et avec Guillaume Rond sur la perturbation des opérateurs linéaires. En particulier, nous avons considéré avec A. Rainer les racines de polynômes complexes unitaires d'une variable dont les coefficients dépendent de manière lisse d'un paramètre réel t. Nous avons montré qu'une telle racine, si elle est continue en t, est nécessairement localement absolument continue et nous avons donné une estimation optimale de sa régularité de Sobolev.
Dans un article avec Guillaume Rond, nous avons montré qu’une famille analytique de matrices normales dépendant d'un multiparamètre peut être localement diagonalisée analytiquement si le discriminant de son polynôme caractéristique est à croisement normal. On a un résultat similaire pour la décomposition des valeurs singulières des familles de matrices arbitraires.
La théorie de la perturbation des polynômes et des opérateurs linéaires est motivée par la théorie des équations à dérivées partielles.
A result coming from Dulac, and proved independently by Écalle and Ilyashenko in the 80's, asserts that an analytic vector field in the real plane cannot have a sequence of limit cycles accumulating to a singular point. In this talk, we deal with this problem for analytic vector fields in dimension three, in a non-trivial but not too degenerated situation. Namely, the linear part at the singularity has two non-zero imaginary eigenvalues. We describe completely the distribution of all possible local cycles around the singularity, showing that there are no isolated ones in some neighborhood, which proves Dulac's property. Joint work with Nuria Corral and María Martín.
Je vais expliquer une nouvelle preuve d'un théorème de Gabrielov des années 70 concernant le rang d'un germe d'application analytique. Ceci nous permet d'obtenir un résultat plus général que le résultat original de Gabrielov. Je vais montrer ensuite comment cet énoncé nous permet de montrer que l'ensemble des points Nash d'un ensemble sous-analytique est lui-même un ensemble sous-analytique, résultat démontré en 90 par Pawlucki.
La Conjecture de Sard classique prévoit que l’image de toutes les courbes singulières partant d’un point fixé sur une variété équipée d’une structure sous-riemannienne est de mesure nulle. Nous discuterons dans cet exposé d’une conjecture plus faible portant uniquement sur les courbes singulières de rang minimal. Nous expliquerons comment ce problème est relié, dans le cas analytique réel, aux propriétés de certains feuilletages sous-analytiques et présenterons des résultats positifs dans le cas de feuilletages dit « splittable ». Ceci est tiré d’un travail en collaboration avec André Belotto et Adam Parusinski.
By clustering the polar curves of 2-variable function germs, in the Topological category, one may derive a bijective correspondence of a certain partition of polar quotients. In the case of the Lipschitz category, we explain how this bijective correspondence may be refined in terms of the gradient canyons. We will show how the tracking of the contact orders of the polar arcs and of the roots of a holomorphic 2-variable germ, induces a natural partition of the set of polar arcs into clusters, in such a way that the classical bijective correspondence of branches of topologically right-equivalent function germs induces a bijective correspondence of those clusters. (Clustering polar curves, Topology and its Applications 313 (2022) with P. Migus and M. Tibar.)
Let X, Y be nonsingular real algebraic sets. A map φ : X → Y is said to be k- regulous, where k is a nonnegative integer, if it is of class Ck and the restriction of φ to some Zariski open dense subset of X is a regular map. Assuming that Y is uniformly rational, and k ≥ 1, we prove that a C∞ map f : X → Y can be approximated by k-regulous maps in the Ck topology if and only if f is homotopic to a k-regulous map. The class of uniformly rational real algebraic varieties includes spheres, Grassmannians and rational nonsingular surfaces, and is stable under blowing up nonsingular centers. Furthermore, taking Y = Sp (the unit p-dimensional sphere), we obtain several new results on approximation of C∞ maps from X into Sp by k-regulous maps in the Ck topology, for k ≥ 0
Depuis Fuchs, on sait associer à une équation différentielle linéaire homogène sur le corps des séries formelles $mathbb{C}((t))$ des exposants. Un nombre complexe $a$ est un exposant de l'équation s'il existe une série formelle $f(t)$ telle que l'équation ait une solution (symbolique) de la forme $t^a cdot f(t)$, où $t^a$ est juste un symbole. Ces nombres aident dans la classification de ces équations. Plus précisément, leur classe modulo les entiers, sont des invariants par isomorphismes du module différentiel associé à l'équation donnée. On rencontre toutefois un problème : si l'ordre de notre équation est $n$, le nombre d'exposants dans $mathbb{C}/mathbb{Z}$ est inférieur ou égal à $n$. En effet, les équations différentielles sur $mathbb{C}((t))$ sont complètement classifiées par la théorie de Galois différentielle et les exposants sont des classifiants (presque complets) de la classe d'isomorphisme de la partie régulière des modules différentiels. Pour les modules irréguliers sans partie régulière il n'y a pas d'exposants. Dans l'exposé on verra qu'en réalité on peut prolonger la théorie des exposants aux modules irréguliers par une méthode qui fait intervenir les groupes de Galois différentiels (ou plus précisément Tannakiens). Cela traduit l'idée qu'une solution générale d'une équation irrégulière est encore de la forme $t^a cdot f(t)$ modulo multiplication ultérieure par des fonctions exponentielles de la forme $exp(q(t))$ et des logarithmes $log(t)$ (théorème de Turrittin). Si le temps le permet, je vais également présenter en quelque mot comment cette méthode fonctionne aussi bien dans certains contextes spécifiques du monde $p$-adiques, qui présentent une forte analogie avec les séries formelles. Notamment, la même méthode permet d'obtenir une théorie des exposants p-adiques pour les équations différentielles, irrégulières ou pas, avec structure de Frobenius sur l'anneau de Robba (théorème de monodromie locale $p$-adique). Travail en collaboration avec M.D'addezio, C.Lazda, A.Pal
We give an explicit positive answer, in the case of reduced curve singularities, to a question of B. Teissier about the existence of a toric embedded resolution after reembedding. In the case of a curve singularity (C, O) contained in a non singular surface S such a reembedding may be defined in terms of a sequence of maximal contact curves of the minimal embedded resolution of C. We prove that there exists a toric modification, after reembedding, which provides an embedded resolution of C. We use properties of the semivaluation space of S at O to describe how the dual graph of the minimal embedded resolution of C may be seen on the local tropicalization of S associated to this reembedding. This is a joint work with Hussein Mourtada and Ana Belén de Felipe.
Dans cet exposé, je vais vous raconter comment à des polytopes suffisamment sympathiques et à d'autres objets combinatoires on a associé des variétés complexes qui leur ressemblent, comment cela a permis d'élucider des propriétés remarquables de ces objets via la théorie de Hodge classique (qui étudie la structure cohomologique des variétés complexes), comment, lorsque ces objets ne sont plus si sympathiques, il a fallu développer la théorie de Hodge combinatoire en faisant comme si une variété complexe adéquate était associée à ces objets, et comment, en réalité, on peut bien leur associer une variété adéquate mais une variété tropicale. Ce sera l'occasion de (re)découvrir polytopes, variétés toriques, matroïdes, éventails, théories de Hodge, hypercorps tropical, etc.
Artin et Pfister ont démontré que tout polynôme réel en n variables qui ne prend que des valeurs >=0 est somme de 2^n carrés de fonctions rationnelles. Après une introduction générale à cette thématique (le dix-septième problème de Hilbert), je présenterai des extensions de ce théorème à des corps de séries formelles ou de fonctions analytiques.
Une équation différentielle algébrique est fortement minimale si tout sous-ensemble définissable de son ensemble de solutions (considéré dans un corps différentiel universel dans le langage des corps différentiel) est fini ou cofini. Dans mon exposé, je commencerai par présenter cette notion, son histoire et sa relation avec des énoncés de transcendence pour les solutions d’équations différentielles algébriques non linéaires. Je présenterai ensuite un résultat d’abondance pour les équations différentielles autonomes fortement minimales.
Soit (K, ν) un corps valué, les notions de valuation augmentée, de valuation augmentée limite et de famille admise de valuations permettent de donner une description de toute valuation μ de K[x] prolongeant ν. Dans le cas où le corps K est algébriquement clos cette description est particulièrement simple et nous pouvons la réduire aux notions de paire minimale et de famille pseudo-convergente. Soient (K, ν) un corps valué hensélien et ν' l’unique extension de ν à la clôture algébrique ̄K de K et soit μ une valuation de K[x] prolongeant ν, nous étudions les extensions ̄μ de μ à ̄K[x] et nous donnons une description des valuations ̄μ_i de ̄K[x] qui sont les extensions des valuations μ_i appartenant à la famille admise associée à μ.
Un problème classique dû à Abel est de déterminer si une équation différentielle y′ = ηy admet une solution non triviale y algébrique sur C(x) lorsque η est une fonction algébrique donnée sur C(x). Risch a produit un algorithme qui, étant donné η, détermine s'il existe une solution algébrique ou non. Dans un travail en commun avec Eric Delaygue (Lyon), nous avons donné un point de vue différent lorsque η admet un développement de Puiseux à coefficients rationnels en 0 : il existe une solution algébrique non triviale de y′=ηy si et seulement si les coefficients du développement de Puiseux de η en 0 satisfont les congruences de Gauss pour presque tous les nombres premiers. Nous avons appliqué notre critère afin de déterminer complètement les équations y′=ηy avec une solution algébrique lorsque xη(x) est une série hypergéométrique algébrique à paramètres rationnels, ce qui nous a permis de prouver une prédiction de Golyshev.
Nous rappellerons quelques tenants et aboutissants de l'étude des familles d'arcs sur une variété algébrique singulière, initiée par John Nash. Puis nous expliquerons des progrès récents, obtenus en collaboration avec Kevin Langlois et Hussein Mourtada, dans le cas où la variété est équipée d'une action de tore dont les orbites génériques sont de codimension 1.
Dans cet exposé j'introduirai les surfaces K3 et leurs groupes d'automorphismes, en particulier je montrerai comme la théorie des réseaux joue un rôle clé dans cette étude. Je montrerai des progrès récents sur les automorphismes qui agissent non-symplectiquement et qui sont d'ordre un multiple de sept. Il s'agit ici d'un des cas qui est encore ouvert en vue d'une classification complète des groupes d'automorphismes finis qui agissent sur les surfaces K3. Si le temps le permet je donnerai des exemples qui utilisent les fibrations elliptiques. Ces résultats sont obtenus en collaboration avec R. Bell, P. Comparin, J. Li, A. Rinc'on-Hidalgo, A. Zanardini.
Je présenterai des travaux récents qui mettent en scène des hypersurfaces cubiques projectives complexes de dimension trois et les revêtements cycliques ramifiés au-dessus, pour étudier la riche et belle géométrie de la variété de Fano des droites qu'ils contiennent et le comportement de l'automorphisme du revêtement lors de la dégénérescence vers une cubique à singularités isolées.
À venir
Dans cet exposé, on montrera que toute variété algébrique réelle de dimension n contient des hypersurfaces algébriques réelles de degré d dont les nombres de Betti croissent en O(d^n), lorsque le degré d tend vers l’infini. Ceci est l'ordre de croissance maximal autorisé par l'inégalité de Smith-Thom. L’existence de telles hypersurfaces est obtenue à l’aide de techniques probabilistes.