Monotonicity is a fundamental notion in mathematics and computation. For usual real-valued functions R → R this simply corresponds to the notion that a function is increasing (or decreasing) in its argument, however this can be parametrised by any partially ordered domain and codomain we wish. In computation we deal with programs that compute Boolean functions, {0,1} → {0,1}. Restricting to increasing functions over this structure can be seen as prohibiting the use of negation in a program; for instance monotone Boolean functions are computed by Boolean circuits without NOT gates. The idea of restricting negation scales to other models of computation, and for some important classes of functions the formulation is naturally robust, not depending on the particular model at hand, e.g. for the polynomial-time functions. Monotone computational problems abound in practice, e.g. sorting a string and detecting cliques in graphs, and 'nonuniform' monotone models of computation, such as monotone circuits, have been fundamental objects of study in computational complexity for decades.
In this talk I will propose a project that develops logical characterisations of monotone complexity classes, via a proof theoretic approach. Namely, the project will identify theories of arithmetic whose formally representable functions coincide with certain monotone classes, and also develop fundamental recursion-theoretic programming languages in which to extract the monotone functions themselves. In particular the project focusses on the role of structural proof theory, i.e. the duplication and erasure of formulae, in controlling monotonicity.
À venir
A Theorem of Gao, Jackson and Seward, originally conjectured to be false by Glasner and Uspenskij, asserts that every countable group admits a strongly aperiodic subshift over a 2-symbol alphabet. Their proof consists of a quite technical construction. We give a shorter proof of their result by using the asymetrical version of Lovasz Local Lemma which allows us also to prove that this subshift is effectively closed (with an oracle to the word problem of the group) in the case of a finitely generated group. This is about joint work with Nathalie Aubrun and Stéphan Thomassé.
Travail en collaboration avec Arkady Leiderman, Ben Gurion University, Beer-Sheva, Israel. Un espace topologique $L$ est un espace ordonnable lorsqu'il existe un ordre total $leq$ sur $L$ tel que la topologie sur $L$ est engendrée par les intervalles ouverts (non nécessairement bornés) à extrémités dans $L$ (exemples: $N$, $Z$, $Q$, $R$; contre-exemple: $C$). Un espace $L$ est un espace héréditairement ordonnable si toute image continue de $L$ est ordonnable. On montre le résultat suivant: Si $L$ est un espace héréditairement ordonnable alors $L$ est un espace dénombrable et compact (i.e. un sous-espace compact de $R$, qui est donc homéomorphe a un ordinal dénombrable ayant un plus grand élément). En fait on montre un résultat plus général.
Bisimulation is used in concurrency theory as a proof method for establishing behavioural equivalence of processes. Up-to techniques are a means of enhancing this proof method. In this talk I will argue that up-to techniques can be of general use, and discuss how this is supported by our coalgebraic framework of up-to techniques, that provides enhanced proof techniques for a wide variety of systems and a wide variety of properties. I will discuss our recent work on extending this framework to cover equivalences for systems that involve silent transitions.
Le traitement catégorique de la théorie des probabilités formulé par Giry et Lawvere, basé sur la monade de probabilité G, permet de manipuler de façon élégante des probabilités d'ordre supérieur. Dans ce cadre, je présenterai une reconstruction du processus de Dirichlet, un objet largement utilisé en inférence bayésienne. Ce processus prend la forme d'une famille de mesures dans GG(X) indexée par M(X), où X est un espace Polonais et M(X) est l'espace des mesures finies non-zéro sur X. Sa construction repose sur deux outils dont l’intérêt dépasse le simple cas de la construction de Dirichlet. Le premier de ces outils est une version fonctorielle du théorème d'extension de Bochner adapté au cadre Polonais, qui permet d'étendre une famille projective de probabilités en une probabilité limite. Le second outil est une méthode de ``décomposition'' qui associe à tout espace Polonais zéro-dimensionnel une famille projective d'espaces finis, dont la limite projective est une compactification de l'espace originel. La combinaison de ces deux outils avec des propriétés bien connues de Dirichlet sur les espaces finis nous permet de reconstruire Dirichlet comme une transformation naturelle de M vers GG. Cette construction améliore les précédentes en ce qu'elle prouve la continuité de Dirichlet en ses paramètres.
PML est un langage de programmation en appel par valeurs similaire à ML, avec une syntaxe à la Curry (c'est à dire, pas de types dans les termes) et basé sur une logique d'ordre supérieur classique. Les termes apparaissent dans les types via un prédicat d'appartenance t ∈ A et un opérateur de restriction A | t ≡ u. La sémantique de ces deux constructeurs de types utilise une relation d'équivalence (observationnelle) sur les programmes (non typés). L'opérateur de restriction est utile pour l'écriture de spécifications tandis que l'appartenance permet d'encoder les types dépendants. La présence de l'équivalence nous permet également de relâcher la « value restriction » pour obtenir un type produit dépendant compatible avec la logique classique (ce qui n'avait pas été fait avant).
Le ``size-change principle'' (SCP) est un algorithme simple donnant un test partiel de terminaison qui s'adapte très bien aux langages fonctionnels où les fonctions sont définies de manière récursive par pattern-matching. En présence de constructeurs paresseux, le SCP donne également un test (partiel) de productivité : c'est sur ce principe que les tests (terminaison + productivité) de PML et Agda reposent. Malheureusement, en présence de type coinductifs, certaines définitions récursives bien typées terminent (i.e. sont productives) mais sont incorrectes et rendent Agda/PML inconsistants. En utilisant les travaux de L. Santocanale sur les preuves circulaires et les jeux de parité, je montrerais comment utiliser le SCP pour implanter un test partiel de totalité des définitions récursives qui généralise le test de terminaison/productivité, et garantie qu'une définition est correcte vis à vis de son type.
Le travail à présenter est une contribution à la spécification et la vérification des Systèmes à Base de Composants (SBC) modélisés avec le langage SysML. Les SBC sont largement utilisés dans le domaine industriel et ils sont construits en assemblant différents composants réutilisables, permettant ainsi le développement de systèmes complexes en réduisant leur coût de développement. Malgré le succès de l’utilisation des SBC, leur conception est une étape de plus en plus complexe qui nécessite la mise en œuvre d’approches plus rigoureuses. Dans ce contexte, nous allons traiter principalement deux problématiques: La première est liée à la difficulté de déterminer quoi construire et comment le construire, en considérant seulement les exigences du système et des composants réutilisables, donc la question qui en découle est la suivante : comment spécifier une architecture SBC qui satisfait toutes les exigences du système ? Nous proposons une approche de vérification formelle incrémentale basée sur des modèles SysML et des automates d’interface pour guider, par les exigences, le concepteur SBC afin de définir une architecture de système cohérente, qui satisfait toutes les exigences SysML proposées. Dans cette approche nous exploitons le Model Checker SPIN et la LTL pour spécifier et vérifier les exigences. La deuxième problématique traitée concerne le développement par raffinement d’un SBC modélisé uniquement par ses interfaces SysML. Notre contribution permet au concepteur des SBC de garantir formellement qu’une composition d’un ensemble de composants élémentaires et réutilisables raffine une spécification abstraite d’un SBC. Dans cette contribution, nous exploitons les outils : Ptolemy pour la vérification de la compatibilité des composants assemblés, et l’outil MIO pour la vérification du raffinement.
The M2Disco (Multiresolution, Discrete and Combinatorial Models) research team aims at proposing new combinatorial, discrete and multiresolution models to analyse and manage various types of data such as images, 3D volumes and 3D meshes, represented as Digital Sur- faces (ie subset of Zn). One of their project called PALSE foam requires the computation of the shortest path between two points on a manifold. We are proposing the study of two algorithm for computing such a dis- tance, but also providing metric embedding inside a Discrete Exterior Calculus structure (DEC). We performs various tests regarding the two algorithms, but also con rm through experience DEC's operators con- vergence using suitable metric. This work is the base of both a research project named CoMeDiC (Convergent Metrics for Digital Calculus) and Ph.D. project.
Il existe de très nombreuses façons de représenter et discrétiser une courbe ou une surface, en raison notamment des applications envisagées et des modes d'acquisitions des données (nuages de points, approximations volumiques, triangulations...). Le but de cet exposé sera de présenter un cadre commun pour l'approximation des surfaces, dans l'esprit de la théorie géométrique de la mesure, à travers la notion de varifold discret. Ce cadre nous a notamment permis de dégager une notion de courbure moyenne discrète (à une échelle donnée) unifiée dont on présentera les propriétés de convergence et qu'on illustrera numériquement sur des nuages de points.
In this talk we introduce and study a new property of infinite words: An infinite word x on an alphabet A is said to be it self-shuffling, if x admits factorizations: $x=prod_{i=1}^infty U_iV_i=prod_{i=1}^infty U_i=prod_{i=1}^infty V_i$ with $U_i,V_i in A^*$. In other words, there exists a shuffle of x with itself which reproduces x. This property of infinite words is shown to be an intrinsic property of the word and not of its language (set of factors). For instance, every aperiodic uniformly recurrent word contains a non self-shuffling word in its shift orbit closure. On the other hand, we build an infinite word such that no word in its shift orbit closure is self-shuffling. We prove that many important and well studied words are self-shuffling: This includes the Thue-Morse word and all Sturmian words (except those of the form aC where a ∈ {0,1} and C is a characteristic Sturmian word). We further establish a number of necessary conditions for a word to be self-shuffling, and show that certain other important words (including the paper-folding word and infinite Lyndon words) are not self-shuffling. One important feature of self-shuffling words is its morphic invariance: The morphic image of a self-shuffling word is again self-shuffling. This provides a useful tool for showing that one word is not the morphic image of another. In addition to its morphic invariance, this new notion has other unexpected applications: For instance, as a consequence of our characterization of self-shuffling Sturmian words, we recover a number theoretic result, originally due to Yasutomi, on a classification of pure morphic Sturmian words in the orbit of the characteristic. Finally, we provide a positive answer to a recent question by T. Harju whether square-free self-shuffling words exist and discuss self-shufflings in a shift orbit closure. E. Charlier, T. Kamae, S. Puzynina, L. Q. Zamboni: Infinite self-shuffling words. J. Comb. Theory, Ser. A 128: 1-40 (2014) M. Müller, S. Puzynina, M. Rao: On Shuffling of Infinite Square-Free Words. Electr. J. Comb. 22(1): P1.55 (2015)
We propose a notion of morphisms between tree automata based on game semantics. Morphisms are winning strategies on a synchronous restriction of the linear implication between acceptance games. This leads to split indexed categories, with substitution based on a suitable notion of synchronous tree function. By restricting to tree functions issued from maps on alphabets, this gives a fibration of tree automata. We then discuss the (fibrewise) monoidal structure issued from the synchronous product of automata. We also discuss how a variant of the usual projection operation on automata leads to an existential quantification in the fibered sense. Our notion of morphism is correct, in the sense that it respects language inclusion, and in a weaker sense also complete.
Ce travail présente un cadre unificateur pour les systèmes de types pour les algèbres de processus. Le cœur du système fournit une correspondance précise entre des processus essentiellement fonctionnels et des démonstrations de logique linéaire; des fragments de ce système correspondent à des connections précédemment connues entre démonstrations et processus. On montre que l'ajout d'axiomes logiques peut étendre la classe des processus typables en échange de la perte de propriétés calculatoires comme l'absence de blocage ou la terminaison, ce qui permet de voir différents systèmes connus (types i/o, linéarité, contrôle) comme des instances d'un modèle général. Cette approche suggère des méthodes unifiées pour l'extension de systèmes de types avec de nouvelles propriétés tout en restant dans un cadre bien structuré, ce qui constitue un pas vers l'étude de la sémantique dénotationnelle des processus par des méthodes de théorie de la démonstration.
Dans cet exposé, nous étudierons différentes modélisations pour le mélange d'objets alignés (des livres, des cartes, des fichiers, etc.). En particulier, l'action qui correspond à piger un élément au hasard et à le remettre au début de la liste s'avère être un point de départ intéressant pour l'étude des marches aléatoires sur le groupe symétrique. Nous verrons que l'utilisation de techniques algébriques permet l'analyse de mélanges élaborés.
Cette présentation montrera un lien théorique entre les segments de droite discrète (DSS) et la théorie probabiliste des chemins possibles. Un DSS entre deux points est généralement défini comme la meilleure approximation discrète de la droite continue sous-jacente entre les deux points. Dans cet article, nous introduisons une autre définition qui fait écho à des approches dites de tous les chemins possibles de la physique des particules. Le cosmologiste George Ellis a récemment fait remarquer, Une particule prend tous les chemins qu'elle peut, et ce que nous voyons est la moyenne pondérée de toutes ces possibilités.'' Dans une veine similaire, nous définissons un segment de droite discrète entre deux points comme l'ensemble de pixels le plus rapproché de la moyenne pondérée de tous les chemins discrets possibles de longueur minimale entre les deux points. Cette définition est uniquement destinée à démontrer une relation théorique entre la théorie probabiliste des chemins discrets possibles et les DSSs. Elle n’a pas vocation à remplacer l’algorithme standard de Bresenham (1963) comme moyen pratique pour tracer les segments de droite dans le plan, mais de le justifier par une autre approche. Nous présentons également brièvement l’extension de cette définition dans l’espace à 3 dimensions. Nous présenterons également un nouvel algorithme récursif pour tracer un type de DSS présentant une meilleure autosimilarité que la DSS standard et qui est plus rapide que l'algorithme classique de Bresenham. Pour finir, nous implémenterons l’algorithme de tous les chemins possibles au moyen des automates cellulaires que nous appelons «Mants» (M-fourmis équipées de mémoires mais non réalistes). Il s’avère que le chemin qui est localement le plus probable entre lamanthill'' et une source d'alimentation pour un individu de la colonie n’est, en général, pas identique à la trajectoire optimale pour la colonie dans son ensemble.