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I will sketch some themes and results related to real integrals and their connections to geometry, analysis, and number theory. Using real geometry and real semi-algebraic sets, I will sketch classes of functions which are stable under (parametric) integration, Fourier transform, Mellin transform, and Laplace transform (Laplace still being work in progress). This has connections to classes of distributions and their properties (like holonomicity), to periods and exponential periods and families thereof, and questions around (functional) transcendence. The directions I will focus most on comprise work by many people, in particular by Aizenbud, (my PhD student) Buggenhout, Comte, Kaiser, Lion, Miller, Raibaut, Rolin, Servi, Stout, (my PhD student) Vandebrouck. I will raise some open questions for future research as well.
Let X be a nonsingular real algebraic set and let M be a compact smooth submanifold of X. I will discuss approximation of M by nonsingular algebraic subsets of X. There is a new (2024) result by Olivier Benoist concerning the case 2dimM<dimX and involving an appropriate bordism condition. I will interpret the bordism condition in terms of homology and present some applicationsLet X be a nonsingular real algebraic set and let M be a compact smooth submanifold of X. I will discuss approximation of M by nonsingular algebraic subsets of X. There is a new (2024) result by Olivier Benoist concerning the case 2dimM<dimX and involving an appropriate bordism condition. I will interpret the bordism condition in terms of homology and present some applications.
Les équations aux dérivées partielles dispersives sont des équations d'évolution (c'est-à-dire comportant la variable temporelle) dont les solutions préservent l'énergie, mais peuvent néanmoins décroître en temps long parce que les différentes fréquences se propagent avec des vitesses distinctes. Dans certains cas, il existe des solutions spéciales appelées « solitons » qui ne changent pas de forme au fil du temps. La conjecture de résolution en solitons prédit que les solitons sont le seul obstacle à la décroissance des solutions. Plus précisément, toute solution se décompose en une superposition de solitons et d'un terme évanescent appelé « radiation ». Nous présenterons cette conjecture dans le contexte de l'équation des applications d'ondes critique, qui est l'analogue de l'équation des ondes pour les applications de R^2 dans S^2. Nous considérons les solutions « équivariantes », qui sont des solutions ayant une certaine symétrie préservée par le flot. Dans ce cas, les solitons sont centrés à l'origine, mais ils peuvent néanmoins se découpler si leurs échelles caractéristiques sont très différentes. Dans un travail commun avec Andrew Lawrie, nous démontrons que la résolution en solitons est vérifiée. À la lumière de ce résultat, il est naturel d'examiner le comportement à long terme des échelles de plusieurs solitons en interaction. Dans cette direction, dans un travail récent avec Joachim Krieger, nous construisons des solutions développant une singularité par concentration simultanée de deux solitons à l'origine.
Les équations aux dérivées partielles dispersives sont des équations d'évolution (c'est-à-dire comportant la variable temporelle) dont les solutions préservent l'énergie, mais peuvent néanmoins décroître en temps long parce que les différentes fréquences se propagent avec des vitesses distinctes. Dans certains cas, il existe des solutions spéciales appelées « solitons » qui ne changent pas de forme au fil du temps. La conjecture de résolution en solitons prédit que les solitons sont le seul obstacle à la décroissance des solutions. Plus précisément, toute solution se décompose en une superposition de solitons et d'un terme évanescent appelé « radiation ». Nous présenterons cette conjecture dans le contexte de l'équation des applications d'ondes critique, qui est l'analogue de l'équation des ondes pour les applications de R^2 dans S^2. Nous considérons les solutions « équivariantes », qui sont des solutions ayant une certaine symétrie préservée par le flot. Dans ce cas, les solitons sont centrés à l'origine, mais ils peuvent néanmoins se découpler si leurs échelles caractéristiques sont très différentes. Dans un travail commun avec Andrew Lawrie, nous démontrons que la résolution en solitons est vérifiée. À la lumière de ce résultat, il est naturel d'examiner le comportement à long terme des échelles de plusieurs solitons en interaction. Dans cette direction, dans un travail récent avec Joachim Krieger, nous construisons des solutions développant une singularité par concentration simultanée de deux solitons à l'origine.
In this talk, I will present some results obtained during my PhD, here at LAMA. I will talk about shape optimization problems under inradius constraint, focusing on the 2D case. I will discuss two approaches to tackle these problems, one analytical and the other numerical. First, I present a result obtained in collaboration with D. Bucur and G. Buttazzo. We show that the honeycomb structure is optimal for the Cheeger constant and the torsional rigidity. I will focus my presentation on the Cheeger case. Secondly, I explain a new numerical scheme implemented with B. Bogosel. We aim to numerically solve these problems with the added constraint of simple connectivity, in the framework of the levelset method.
We study the problem of answering connectivity queries on real solution sets of polynomial systems, a central question in computational real algebraic geometry with applications ranging from geometry to robotics. Following Canny’s roadmap framework, connectivity queries on a high-dimensional solution set are reduced to connectivity queries on a one-dimensional algebraic curve intersecting all connected components.
We present an algorithm that, under generic assumptions, computes such roadmaps in subquadratic time with respect to the output size, thereby extending the best known nearly optimal complexity bounds to non-compact situations. We also show that the connectivity of the roadmap itself, namely of a real algebraic curve, can be analyzed in time cubic in its size.
Finally, we illustrate the practical applicability of these methods through original implementations leveraging recent advances in polynomial system solving software.
In this seminar, I will focus on bijective digitized rotations in 2D and 3D. In the first part, I will present several new methods to approximate digitized rotations with bijective transformations. These methods, along with several classical approaches, are compared both in terms of accuracy with respect to Euclidean rotations and in terms of computational complexity. In the second part, I will focus on the characterization of bijective digitized rotations in 3D. While this characterization is well known in 2D, its extension to 3D remains an open problem. To address this, I will particularly focus on 3D non-surjective digitized reflections. Finally, some experimental results obtained with DGtal will be presented.
En géométrie intégrale, la formule cinématique additive exprime le volume moyen de la somme de Minkowski de deux compacts convexes placés aléatoirement dans l'espace euclidien. Que se passe-t-il si on ne les suppose plus convexes ? Et si l'on remplace l'espace euclidien par un autre groupe de Lie ? Dans un travail en collaboration avec Andreas Bernig, nous montrons une formule cinématique additive pour les sous-analytiques de l'espace euclidien et de la sphère de dimension 3. La clé est de généraliser la somme de Minkowski par la convolution des fonctions constructibles définie par Viro et Schapira dans les années 80. Cette convolution, fondée sur des calculs de caractéristique d'Euler, est définie à l'aide d'un formalisme des opérations sur les fonctions constructibles.
Gallina, the programming language underlying Rocq, has relatively efficient evaluation mechanisms. But sometimes this is not enough: we would like to write some computationally intensive part in a more suitable, off-the-shelve language. I will demo and discuss our current prototype which extends the Rocq kernel to allow declaring and calling native foreign functions. On the user-facing side, it rests on a monad similar to Haskell's IO, featuring unbounded iteration, error, imperative buffers and, well, foreign function calls. To allow reasoning on this monad we provide a weakest precondition program logic defined using Iris. This logic is already flexible enough to axiomatize the specification of most integer functions in GMP[0] and we hope to interface it with existing Rocq semantics for other languages such as C with VST[1] or Capla[2].
[0] https://gmplib.org/
[1] https://vst.cs.princeton.edu/
[2] https://fresco.gitlabpages.inria.fr/capla/language/index.html
During the talk, I will discuss the classical Hilbert 17th problem. This problem can be divided into two smaller ones. First question is, if we have a nonnegative function, is it necessarily a sum of squares? And if it is a sum of squares, how many squares are needed? We will be mainly interested in the second problem. In particular, I will discuss recent results concerning the Pythagoras number of a ring for various rings occuring in real algebraic geometry, such as coordinate rings of a real algebraic set, rings of regular functions on an algebraic set, fields of rational functions, and possibly the rings of k-regulous functions.
La dualité de Gale pour les systèmes polynomiaux est une généralisation de la dualité pour les variétés linéaires (entre équations et paramétrisations) inventée par moi et F. Sottile. Elle vient avec des bijections entre les solutions complexes, réelles, positives des systèmes duaux. Il existe même une version pour les semi-algébriques et une version locale où la multiplicité locale est préservée. Nous décrirons ces différentes versions et présenterons quelques applications: conditions suffisantes de nature combinatoire à l'existence de solutions positives, bornes sur la multiplicité locale, bornes sur le nombre de solutions positives.
On étudie des extensions algébriques de corps réels pour lesquelles le polynôme minimal de tout élément admet une unique racine réelle. On peut ainsi considérer la clôture monoréelle d'un corps ordonné. De telles extensions arrivent naturellement quand on s’intéresse à des questions d'injectivité d'applications entre variétés algébriques réelles.
Dans cet exposé, nous nous intéresserons aux aspects continus et discrets de la decomposition de Hodge-Helmhltz c'est à dire la décomposition d'un champ de vecteur en une partie à divergence nulle et une partie à rotationnel nul. D'un point de vue continu, nous verrons comment on peut l'utiliser par exemple pour caractériser le temps long du système des ondes. On présentera ensuite une décomposition discrète des champs de vecteurs constants par morceaux sur triangles, proposée dans [1], et adaptée à l'analyse des schémas volumes finis pour le système des ondes [2,3] Dans un deuxième temps, nous remettrons cette décomposition pour les volumes finis sur triangles dans le contexte du calcul discret extérieur [4], et en particulier dans le contexte des diagrammes de de-Rham discrets distributionnels, proposés dans [5]. On verra comment étendre ces diagrammes à des espaces d'approximations compatibles avec les méthodes d'ordre élevé de type Galerkin discontinu, et comment étendre les résultats des maillages triangulaires aux maillages quadrangulaires. En se basant sur ces espaces d'approximation, on verra comment utiliser ces espaces d'approximation pour développer des méthodes numériques préservant des contraintes de type divergence ou rotationnel (par exemple: MHD ou Maxwell), et comment résoudre le problème de précision des schémas volumes finis/Galerkin discontinu à bas nombre de Mach. Ces derniers travaux sont effectués avec Jonathan Jung (UPPA) et ont été publiés dans [6,7,8].
[1] Arnold, D. N., & Falk, R. S. (1989). A uniformly accurate finite element method for the Reissner–Mindlin plate. SIAM Journal on Numerical Analysis, 26(6), 1276-1290.
[2] Dellacherie, S., Omnes, P., & Rieper, F. (2010). The influence of cell geometry on the Godunov scheme applied to the linear wave equation. Journal of Computational Physics, 229(14), 5315-5338.
[3] Jung, J., & Perrier, V. (2022). Steady low Mach number flows: identification of the spurious mode and filtering method. Journal of Computational Physics, 468, 111462.
[4] Arnold, D. N. (2018). Finite element exterior calculus. Society for Industrial and Applied Mathematics.
[5] Licht, M. W. (2017). Complexes of discrete distributional differential forms and their homology theory. Foundations of Computational Mathematics, 17(4), 1085-1122.
[6] Jung, J., & Perrier, V. (2024). Behavior of the discontinuous Galerkin method for compressible flows at low Mach number on triangles and tetrahedrons. SIAM Journal on Scientific Computing, 46(1), A452-A482.
[7] Perrier, V. (2025). Discrete de-Rham complex involving a discontinuous finite element space for velocities: the case of periodic straight triangular and Cartesian meshes. Annales Henri Lebesgue, 8, pp.417-452.
[8] Perrier, V. (2026). Development of discontinuous Galerkin methods for hyperbolic systems that preserve a curl or a divergence constraint: The case of linear systems. Journal of Computational Physics, 544(114445).