Dans cet exposé, on s'intéressera aux équations de Navier-Stokes compressibles en régime hautement compressible (le Nombre de Mach tendant vers l'infini). On se placera dans le cadre de coefficients de viscosités vérifiant une relation algébrique introduite par D. Bresch et B. Desjardins en dimension supérieure à deux incluant le cas bien connu du système de Shallow Water. On montrera alors que les solutions faibles de Navier-Stokes compressible convergent selon les cas vers les équations des milieux poreux. Une partie de ces travaux a été effectuée en collaboration avec Ewelina Zatorska.
Les courbes de Harnack simples ont été introduites et classifiées par Mikhalkin au début des années 2000. Ces courbes constituent des objets extrémaux en géométrie algébrique réelle, et se retrouvent de manière surprenante dans d'autres domaines des mathématiques. Après avoir donné leur définition, je donnerai une preuve alternative et élémentaire du théorème de classification des types topologiques des courbes de Harnack. Cette preuve permet en particulier d'étendre le résultat de Mikhalkin aux courbes pseudoholomorphes réelles.
Cette présentation montrera un lien théorique entre les segments de droite discrète (DSS) et la théorie probabiliste des chemins possibles. Un DSS entre deux points est généralement défini comme la meilleure approximation discrète de la droite continue sous-jacente entre les deux points. Dans cet article, nous introduisons une autre définition qui fait écho à des approches dites de tous les chemins possibles de la physique des particules. Le cosmologiste George Ellis a récemment fait remarquer, Une particule prend tous les chemins qu'elle peut, et ce que nous voyons est la moyenne pondérée de toutes ces possibilités.'' Dans une veine similaire, nous définissons un segment de droite discrète entre deux points comme l'ensemble de pixels le plus rapproché de la moyenne pondérée de tous les chemins discrets possibles de longueur minimale entre les deux points. Cette définition est uniquement destinée à démontrer une relation théorique entre la théorie probabiliste des chemins discrets possibles et les DSSs. Elle n’a pas vocation à remplacer l’algorithme standard de Bresenham (1963) comme moyen pratique pour tracer les segments de droite dans le plan, mais de le justifier par une autre approche. Nous présentons également brièvement l’extension de cette définition dans l’espace à 3 dimensions. Nous présenterons également un nouvel algorithme récursif pour tracer un type de DSS présentant une meilleure autosimilarité que la DSS standard et qui est plus rapide que l'algorithme classique de Bresenham. Pour finir, nous implémenterons l’algorithme de tous les chemins possibles au moyen des automates cellulaires que nous appelons «Mants» (M-fourmis équipées de mémoires mais non réalistes). Il s’avère que le chemin qui est localement le plus probable entre lamanthill'' et une source d'alimentation pour un individu de la colonie n’est, en général, pas identique à la trajectoire optimale pour la colonie dans son ensemble.
Dans cet exposé, nous proposons un modèle décrivant les mouvements d'un grand nombre de cellules auto-propulsées. Les interactions entre les cellules, par l'intermédiaire du fluide environnant, sont modélisées par des interactions d'alignement (de type Vicsek). La forme discoïdale des cellules impose également des contraintes sur leurs inclinaisons. En prenant la limite champ moyen puis la limite hydrodynamique, nous obtenons un modèle macroscopique décrivant la dynamique à grande échelle: c'est un système hyperbolique avec terme source. Nous présentons des simulations numériques de ce modèle et nous discutons l'adéquation entre modèles particulaire et macroscopique. Ce travail est issu d'une collaboration avec Pierre Degond.
In denotational semantics, we have a few examples of notions which are easy to describe graphically (and generally informally), but whose algebraic axiomatisation is tedious, to say the least. Such examples include (in order of appearance) Lambek's polycategories, Girard's proof nets, and Lafont's interaction nets. The importance of algebraic axiomatisation of course resides in the induced notion of denotational model. In this work, we propose a generalisation of Joyal's analytic functors to certain presheaf categories, which we then use to directly derive algebraic axiomatisations from elementary graphical information. For concreteness, we instantiate our results on polycategories. The idea is that the pictures generally used to describe the standard operations on polycategories may be understood as a straightforward collection of finite presheaves on a certain category. Our notion of analytic functor then allows us to interpret this collection as an endofunctor on presheaves, which then freely generates a certain monad, whose algebras are precisely polycategories.
Dans cet exposé, nous commencerons par définir l'espace métrique des nombres p-adiques comme complété du corps des rationnels pour la valeur absolue p-adique. Cette distance vérifie l'inégalité ultramétrique ce qui induit des propriétés topologiques très différentes de la topologie réelle. Néanmoins les boules sont compactes et il existe une mesure de Haar. On peut alors définir une intégrale et développer une analyse harmonique similaire à la théorie classique réelle. Nous donnerons ensuite l'exemple de l'espace métrique des séries formelles à coefficients complexes muni de sa distance t-adique. Dans ce contexte les boules ne sont plus compactes mais il existe néanmoins une théorie de l'intégration et une notion de finitude fournie par des théorèmes de logique. Nous esquisserons cela. Nous rappellerons enfin la notion de front d'onde d'une distribution à la Hormander en analyse réelle et nous conclurons l'exposé en donnant les idées de construction de son analogue dans les cadres ultramétriques précédents. L'esprit de cet exposé sera celui d'un colloquium, où l'on présentera en priorité des idées et des exemples.
Au cours de cet exposé, nous nous intéresserons à quelques limites singulières issues de problèmes de la mécanique des fluides. Nous verrons qu'une approche couplant géométrie et analyse fonctionnelle est nécessaire lorsque l'on désire comprendre certains phénomènes physiques sous-jacents : amortissement, croisements de valeurs propres, transversalité, EDO singulières, analyse microlocale sont quelques exemples de concepts mathématiques que l'on est alors amené à rencontrer. Nous discuterons quelques exemples récemment étudiés et exhiberons quelques problèmes actuels.
In this talk we shall recall the notion of hyperfields, i.e. fields with multivalued addition, provide a collection of examples of hyperfields, and show how they can be used to characterize Witt equivalence of fields. We shall also investigate the Witt equivalence of certain types of fields in some more detail.
Dans cet exposé, je présenterai des résultats obtenus sur l'apparition de contact entre solides rigides dans un fluide visqueux et expliquerai comment la méthode de preuve est reliée au calcul d'asymptotique des solutions du problème de Stokes dans des domaines développant des cusps. Je présenterai ces calculs asymptotiques et discuterai leur adaptation au cas où les solides ne sont plus supposés rigides.
Abstract: In papers by Alon, Pach, Pinchasi, Radoicic, Sharir and Fox, Gromov, Lafforgue, Naor, Pach it is demonstrated that families of graphs with the edge relation given by a semialgebraic relation of bounded complexity satisfy much stronger regularity properties than arbitrary graphs, and can be decomposed into very homogeneous semialgebraic pieces modulo a small mistake (for example the incidence relation between points and lines on the real plane, or higher dimensional analogues). We show that in fact the theory can be developed for families of graphs whose edge relation is uniformly definable in a structure satisfying a certain model theoretic property called distality, with respect to a large class of measures. Moreover, distality characterizes these strong regularity properties. The result is similar in spirit to the recent algebraic regularity lemma of Tao, but covers an orthogonal class of examples (and applies in particular to graphs definable in arbitrary o-minimal theories and in p-adics). Joint work with Sergei Starchenko.
Le modèle de Saint Venant (Shallow Water) est largement utilisé depuis son introduction en 1871 pour modéliser des écoulements dont la hauteur est faible en vis-à-vis de la longueur. Il est obtenu en intégrant les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement sur toute la hauteur d'eau. Sa forme traditionnelle repose sur l'approximation de fluide parfait, bien que des termes de friction soient ajoutés afin de prendre en compte la viscosité du fluide. Nous allons adopter la même stratégie d'une moyenne sur la hauteur d'eau mais elle sera couplée avec une fine couche visqueuse. De cette façon, le terme de friction apparaîtra naturellement dans le modèle intégré. Il sera cependant contrebalancé par un terme de pression modifiée. Ce modèle possède de bonnes propriétés pour le frottement, notamment que son maximum soit placé avant le sommet d'une bosse sur fond plat. Ce phénomène naturel était absent du modèle de Saint Venant.
In this talk we analyze evolutionary integral based methods for image restoration. In these models, the image evolves according to Volterra type equations and the diffusion is controlled by a convolution kernel. The discussion will involve well-posedness, scale-space properties and long-term behaviour in the continuous and discrete cases, and will include some numerical experiments to illustrate the performance of the models in image denoising and contour detection.
Partie I (Rodolphe Lepigre) : Le développement de Patoline (un nouveau système de composition de documents) nécessite un parseur extensible d'OCaml sans contrainte, notamment sur l'analyse lexicale. Nous présentons ici un environnement de développement léger pour l'analyse syntaxique, conçu en deux mois pendant l'été 2014 pour répondre à ce besoin. Le système propose une syntaxe intuitive de type BNF, sans récursion à gauche. Les parseurs sont traduits vers des expressions OCaml utilisant DeCaP, notre bibliothèque de combinateurs monadiques, et sont donc des expressions de première classe. Pour optimiser les combinateurs, nous utilisons des continuations et une méthode de prédiction des premiers caractères acceptés par une grammaire. Sur la grammaire d'OCaml, on obtient en moyenne une analyse cinq fois plus lente qu'avec le parseur d'origine et deux fois plus rapide qu'avec Camlp4. De plus, on dispose de combinateurs inspirés de la notion de continuation délimitée pour optimiser les grammaires. Notons que nous gérons aussi les grammaires ambigües. Partie II (Christophe Raffalli) : Parser combinators are popular among functional programmers because they can be used to define languages parameterised by other languages and benefit from the strong type systems of the host language. Parser combinators have the reputation of being slow... However, with a few improvement, they become no more than five to ten times slower than stack automaton. It is easy to translate a BNF-like syntax into calls to combinators while keeping there advantages. However one main drawback remains: left recursion is forbidden. Although left recursion can easily be eliminated from a context free grammar, the presence of parametrised grammars requires more: a fixpoint combinator compatible with left recursion.
The concept of pattern within a combinatorial structure is an essential notion in combinatorics, whose study has had many developments in various branches of discrete mathematics. Among them, the research on permutation patterns and pattern-avoiding permutations has become very active. Nowadays, these researches have being developed in several other directions, one of them concerning the definition and the study of an analogue concept in other combinatorial objects. Some recent studies are presented here, concerning patterns in bidimensional structure, and, specifically, inside polyominoes. After introducing polyomino classes, I present an original way of characterizing them by avoidance constraints (namely, with excluded submatrices) and I discuss how canonical such a description by submatrix-avoidance can be. I also provide some examples of polyomino classes defined by submatrix-avoidance, and I conclude with some hints for future research on the topic.
Nous présentons un travail avec Mischler où nous développons et appliquons notre théorie de factorisation d'opérateurs aux équations de Fokker-Planck cinétiques (en espace et vitesse), avec confinement par périodicité ou par un potentiel extérieur. En particulier nous obtenons différents résultats de stabilité nouveaux pour des solutions avec décroissance polynômiale et dans des topologies faibles.