Nous revisitons le problème de Plateau: étant donné une courbe fermée, trouver la surface d’aire minimale ayant cette courbe comme frontière. La question que nous voulons discuter à nouveau est comment reconstruire effectivement la surface d’aire minimale connaissant la frontière.
Appuyé sur le théorème de Pierre Ossian Bonnet (1867) affirmant qu’une surface est déterminée à un déplacement euclidien près par ses premières et secondes formes fondamentales, nous renonçons à exhiber une surface minimale par ses équations paramétriques. Nous préférons découvrir dans un premier temps ses deux formes fondamentales. C’est la base de notre nouvelle méthode qui résout le problème de calcul des variations suivant :
minimiser l’aire regardée comme une fonctionnelle des deux formes fondamentales en respectant les conditions de compatibilité de Gauss-Coddazzi. Nous montrerons que les multiplicateurs de Lagrange introduits pour respecter ces contraintes satisfont une équation aux dérivées partielles conjuguée, comme lorsqu’on applique le principe de Pontriagine en commande optimale.
Références :
[1] Meusnier, Ch., Mémoire sur la courbure des surfaces, Mém. pré. sav. étrangers, Ac. sci., 10, 1785.
[2] Gauss, K. F., Disquisitiones generales circa superficies curvas, Comm. Soc. Göttingen Bd 6, 1823-1827. English translation in General Investigations of Curved Surfaces, Raven Press, New York, 1965.
[3] Darboux, G., Leçons sur la Théorie Générale des Surfaces, 4 vol., Gauthier-Villars, Paris, 1887-1896.
[4] Do Carmo, M.P., Differential Geometry of Curve and Surfaces, Prentice-Hall International, London, 1976.
[5] Vallée, C.; Fortuné, D., Compatibility equations in shell theory, International Journal of Engineering Science, Vol. 34, N° 5, pp 495-499, 1996.
[6] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M., A unified method for solving linear and nonlinear evolution equations and an application to integrable surfaces, the Gelfand Mathematical Seminars, pp 75-92, Birkhäuser, Boston, MA, 1996.
[7] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M., Surfaces on Lie groups, on Lie algebras, and their integrability, Comm. Math. Phys., Vol. 177, N° 1, pp 203-220, 1996.
[8] Fokas, A. S.; Gelfand, I. M.; Finkel, F.; Liu Q. M., A formula for constructing infinitely many surfaces on Lie algebras and integrable equations, Selecta Math.(N.S.), Vol. 6, N° 4, pp 347-375, 2000.
[9] Finkel, F.; Fokas, A.S., A new immersion formula for surfaces on Lie algebras and integrable equations. Bäcklund and Darboux transformations, The geometry of solitons (Halifax, NS, 1999), pp 207-216, CRM Proc. Lecture Notes, 29, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.
La méthode de Viro est à l’heure actuelle l’un des outils les plus puissants de construction de variétés algébriques réelles avec topologie prescrite.
Au cours de cet exposé, on décrira la version de la méthode de Viro pour les intersections completes et on expliquera comment le Cayley trick permet de relier cette version à la version originale pour les hypersurfaces.
Je parlerai des avancées récentes dans la classification topologique des variétés uniréglées réelles de dimension 3. En particulier, je donnerai la preuve de l’existence d’un modèle uniréglé pour toute somme connexe d’espaces lenticulaires. Ce résultat avait été conjecturé par J. Kollár. (Travail en collaboration avec J. Huisman).
Pour une courbe projective lisse complexe, le théorème de Clifford borne la dimension des systèmes linéaires spéciaux. On donne un équivalent du théorème de Clifford pour les courbes réelles. On regarde aussi les différents cas où il y a égalité dans l’inégalité de Clifford réelle.
Une courbe algébrique réelle est dite séparante si sa partie réelle disconnecte son lieu complexe.
On va montrer que la propriété être séparante pour une courbe algébrique réelle est en fait équivalente à la possibilité d’exhiber un morphisme de la courbe vers la droite dont les fibres au dessus des points réels sont toutes exclusivement formées de points réels.
Deja les premiers pas de la classification locale des k-drapeaux spéciaux (k >= 2) montrent que cette classification n’est pas stable par rapport à la largeur k. En longueur 3 les k-drapeaux manifestent, quelle que ce soit k, sept géometries locales.
Cependant, en longueur 4, les 2-drapeaux ont trente-et-quatre comportements locaux differents ([3]), tandis que les 3-drapeaux en ont au moins trente cinq.
On va lier le premier exemple de cette perte de stabilite avec les singularites de courbes en dimension trois, [2], et ces de courbes en dimensions superieures a trois, [1].
Cette relation emmenera vite à une question importante.
References:
[1] Arnold; Simple singularities of curves; Proc. Steklov Math. Inst. 226 (1999), 20-28.
[2] Gibson, Hobbs; Simple singularities of space curves; Math. Proc. Camb. Phil. Soc. 113 (1993), 297-310.
[3] Mormul, Pelletier; Special 2-flags in lengths not exceeding four: a study in strong nilpotency of distributions (in preparation).
Je m’intéresserai dans cet exposé à l’approximation des propriétés géométriques des surfaces (régulières, de classe C2) de R3 par des triangulations. Je donnerai en particulier des résultats sur l’approximation de l’aire et des normales des surfaces ainsi que sur la forme du dépliage des surfaces développables.
Je présenterai également une application en géométrie algorithmique qui concerne la triangulation de Delaunay restreinte à une surface.
On montre dans un premier temps, qu’une surface elliptique réelle avec une section réelle se déforme en une surface elliptique réelle dont les fibres singulières sont génériques.
On utilisera ce résultat pour donner une borne supérieure pour le nombre de composantes connexes qui est optimale pour les surfaces elliptiques régulières réelles.
We introduce m-times Peano-differentiable functions which are definable in an o-minimal structure expanding a real closed field. The aim is to give a characterization of the set of points in which these functions are not k-times continuously differentiable. We put out that these sets are all definable sets of codimension greater than or equal to 2.
Une fonction arc-analytique est une fonction analytique en restriction aux arcs analytiques. Je montrerai que pour une fonction sous-analytique continue, la notion d’arc-analyticité (en un point) est équivalente à celle d’analyticité sur un espace d’arcs plus petit : les arcs polynomiaux de degrés bornés.
Je donnerai par la suite quelques resultats reliés dans le domaine des structures o-minimales.