A system of Ordinary Differential Equations on the plane is said to have a center at one of its singular points if all its trajectories around this point are closed. It is a classical problem to give explicit necessary and sufficient conditions for a system to have a center. Recently this problem has been related to some problems in analysis and algebra, in particular, to the vanishing problem of some moment-like expressions and to the composition factorization of analytic functions. We present some developments in this direction showing, in particular, how the analytic structure of the moments and the composition algebra enter directly the Algebraic Geometry of the "Center equations".
Soit f une fonction analytique réelle définie sur un espace Euclidien et supposons que f(0) = 0. Selon l’inégalité du gradient de Łojasiewicz, il existe 0 < a < 1 tel que la quantité
Un polynôme P(z) a coefficients réels en 1 variable est hyperbolique si toutes ses racines sont réelles. Considérons une famille P(x,z) de polynômes hyperboliques en z avec coefficients analytiques en paramètre x.
Si x est 1 paramètre (i.e. xin R) alors on sait d’après Rellich 1937 (voir aussi Kato) qu’on peut choisir les racines de P analytiques en x.Mais lorsque x est a un multiparamètre (i.e. xin R^n, n>1) ce n’est plus vrai.
Łojasiewicz a conjecture en 1998 qu’on peut choisir les racines de P de façon lipschitzienne. Avec L. Paunescu (Sydney) nous avons trouve récemment une preuve de la conjecture. On obtient comme corollaire un résultat célèbre de Lidskii que la fonction spectrale sur l’espace de matrices symétriques est lipschitzienne. Si le temps le permet je parlerai d’une généralisation d’un autre résultat de Rellich (1937) selon lequel on peut diagonaliser analytiquement une famille analytique de matrices symétriques lorsque la famille dépend d’un paramètre. Il semble que dans le cas à plusieurs paramètres il n’y avait pas de progrès depuis (voir Kato "Perturbation theory for linear Operators"). J’expliquerai comment on peut le faire en effet dans les cas de multiparamètre.
Après une petite discussion sur la place des variétés uniréglées dans la classification des variétés algébriques et la place des variétés de Seifert dans la classification géométrique des variétés de dimension 3, je montrerai que toute variété de Seifert orientable est difféomorphe à une composante connexe de la partie réelle d’une variété algébrique uniréglée prouvant ainsi une conjecture de Janos Kollar. (Travail en collaboration avec J. Huisman).